让我们通过具体的例子和几何直观来详细解释这一概念：
1. 子空间 \( H \) 的定义
在二维实数空间 \( \mathbb{R}^2 \) 中，子群 \( H \) 定义为：
[
H = {(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}}
]
这是一个一维子空间，即 x 轴。它满足以下性质：
- 对于任意 \( (x, 0), (y, 0) \in H \)，它们的和 \( (x + y, 0) \in H \)。
- 对于任意实数 \( c \)，\( c \cdot (x, 0) = (cx, 0) \in H \)。
2. 陪集 \( g + H \) 的构造
取 \( \mathbb{R}^2 \) 中的一个点 \( g = (a, b) \)，则陪集 \( g + H \) 定义为：
[
g + H = {(a, b) + (x, 0) \mid (x, 0) \in H}
]
具体计算每个元素：
[
(a, b) + (x, 0) = (a + x, b + 0) = (a + x, b)
]
因此，陪集 \( g + H \) 的所有元素形式为：
[
{(a + x, b) \mid x \in \mathbb{R}}
]
这是一条 水平直线，其 \( y \) 坐标固定为 \( b \)，而 \( x \) 坐标可以取任意实数值。
3. 几何解释：平行于 \( H \) 的仿射子空间
- 子空间 \( H \) 是 x 轴：它过原点，方向为水平方向。
- 陪集 \( g + H \) 是平行于 \( H \) 的直线：因为：
- \( g + H \) 的方向与 \( H \) 完全相同（水平方向）。
- \( g + H \) 的位置由点 \( g = (a, b) \) 决定，即它沿着 \( y = b \) 的方向平移了 \( b \) 单位。
例如：
- 若 \( g = (2, 3) \)，则陪集 \( g + H \) 是直线 \( y = 3 \)，与 x 轴平行。
- 若 \( g = (0, 0) \)，则陪集 \( g + H = H \) 本身（即 x 轴）。
4. 陪集的性质
（1）平行性
陪集 \( g + H \) 的方向与 \( H \) 完全相同，因此它们是平行的。这是因为：
- \( H \) 的方向由其基向量 \( (1, 0) \) 决定。
- \( g + H \) 的方向同样由 \( (1, 0) \) 决定，只是位置平移了 \( (a, b) \)。
（2）划分整个空间
所有陪集 \( g + H \)（对于不同的 \( g \in \mathbb{R}^2 \)）将 \( \mathbb{R}^2 \) 分解为无数条平行的水平线，且这些直线：
- 互不相交：如果两条水平线 \( y = b_1 \) 和 \( y = b_2 \) 满足 \( b_1 \neq b_2 \)，则它们没有公共点。
- 覆盖整个空间：每个点 \( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \) 都属于唯一的陪集 \( (x, y) + H = y \text{-水平线} \)。
（3）仿射子空间
陪集 \( g + H \) 是一个仿射子空间，它与子空间 \( H \) 平行，但不经过原点（除非 \( g \) 是原点）。仿射子空间的几何意义是：
- 它是子空间 \( H \) 经过平移后的结果。
- 它的结构与 \( H \) 相同（维度、方向），但位置不同。
5. 代数与几何的对应关系
（1）代数定义
陪集 \( g + H \) 的代数定义：
[
g + H = {g + h \mid h \in H}
]
对应几何上的水平直线 \( y = b \)，其中 \( g = (a, b) \) 是平移向量。
（2）等价关系
陪集的划分源于等价关系 \( x \sim y \iff x - y \in H \)。在 \( \mathbb{R}^2 \) 中：
- 两点 \( (x_1, y_1) \) 和 \( (x_2, y_2) \) 等价当且仅当它们的 \( y \) 坐标相同（即 \( y_1 = y_2 \)）。
- 因此，等价类正是水平直线 \( y = b \)。
6. 例子验证
例子 1：\( g = (0, 0) \)
- 陪集 \( g + H = (0, 0) + H = H \)，即 x 轴本身。
例子 2：\( g = (2, 3) \)
- 陪集 \( g + H = {(2 + x, 3) \mid x \in \mathbb{R}} \)，即水平直线 \( y = 3 \)。
例子 3：\( g = (5, -1) \)
- 陪集 \( g + H = {(5 + x, -1) \mid x \in \mathbb{R}} \)，即水平直线 \( y = -1 \)。
7. 总结
在 \( \mathbb{R}^2 \) 中：
- 子空间 \( H \) 是 x 轴（一维子空间）。
- 陪集 \( g + H \) 是一条水平直线，与 x 轴平行，其位置由点 \( g = (a, b) \) 的 \( y \) 坐标 \( b \) 决定。
- 所有陪集构成 \( \mathbb{R}^2 \) 的水平直线族，彼此平行且覆盖整个平面。
这种几何解释不仅直观，还揭示了代数结构（子群、陪集）与几何对象（子空间、仿射空间）之间的深刻联系。希望这个解释能帮助您更好地理解这一概念！如果有其他问题，欢迎继续提问！