定义 Br(x)={y∈Rd∣|y−x|<r}B_r(x)=\{y \in R^d \mid |y-x| <r\}B_r(x)=\{y \in R^d \mid |y-x| <r\} 为中心为 xxx ，半径为 rrr 的一个开球(open ball)，如果一个集合的补集为开集，那么定义这个集合为闭集。如果一个集合包含于一个半径为有限值的一个开球内，那么称这个集合有界，如果它同时是闭集，那么称它是紧集

海岸线围成的面积是有限的，可是它的边长理论来说确是无限的

一个通用理论构造必须要带来不平凡的东西，一个有意义的计算构造一定要解决一个具体的计算难题

但那些极端重要和困难的非常规问题都不是该分支内部所能解决的，它们需要在整个数学物理范围内来靠其他现存或未来新出现的分支来整合解决，其中新分支或构造带来新的数学物理认识，这才是数学物理发展中最有意义的东西，它们增进人类对宇宙秘密的理解。

基础研究就是一个学科数学化的过程

当代一流人物不等于历史一流人物，历史一流比当代一流有价值多了。绝大多数当代一流都不可能是历史一流甚至二、三流。每一次里程碑式进展让这些当代一流中的很多的历史价值急剧下降。

按当代趋势，理论物理最终会融入几何拓扑的熔炉中成为一体，也就是，理论物理就是新几何。

比如在整数构造被建立后，只有基于整数的计算才有逻辑可言，而不是整数系是逻辑构造的，它是一下子被构造的序结构，不需要逻辑。逻辑只有在计算构造之后才起作用，而不是之前。

逻辑强并不等于数学强，相反在某种意义上，强大的习惯化的“人工逻辑”还会阻碍获取重大成就，这显示了逻辑是有缺陷的。

最没用的数学东西就是公理，最有用的是计算构造,Riemman用一个计算构造摧毁了几何的公理体系，但Hilbert又试图建新的，最后失败。

从他的论文最后文字看，他完全在内心预见了未来物理结构

爱因斯坦是幸运的，有黎曼给他提供工具，量子学家是幸运的，有伽罗华和李给他们提供工具。超弦学家（或别的什么学家if超弦失败）是不幸的，因为现在数学家天赋不够，没有庞加莱和牛顿级别的天才，不能提供厉害工具，所以威腾只好亲自上阵来给数学家示范上课。

人看前人，都觉得前人的东西容易，我们的后人也会这样看我们，确实后人在大多数情况下是这样的，基于知识的积累，后人一般比前人牛，这道理谁都懂。

这是很好笑的。不少抽象显得非常稀疏化和平凡化。

人无法在有限生命中完成这些计算和重复检验

所有运算都是方程

觉得数学分支的划分是人为的，数学的进步是围绕问题解决的

用实例处理抽象，以几何制约代数