{x − y = −13x + y = 9 (1)o bien 3x + 2y − z = 12x − 2y + 4z = −2−x + 12 y − z = 0(2)Utilizando una notación más general, otros sistemas de ecuaciones lineales podrían serx1 + 2x2 = 7x2 − 7x3 + x4 = 8x1 + 5x4 = 10(3)x1 + 5x2 = 0x1 − 3x2 = 0x1 = 6(4)De los ejemplos anteriores se pueden concluir ciertas características de los sistemas de ecua-ciones lineales:1. Las variables (incógnitas) del problema siempre aparecen “elevadas” a la po-tencia 1 y nunca elevadas a otra potencia: por ejemplo, una ecuación como x2 +y = 0no es aceptable como ecuación lineal porque la variable x aparece elevada al cuadrado.2. No aparecen “términos mixtos” en las ecuaciones: por ejemplo, una ecuación comox + 3xy − 5y = 0 no va a ser considerada una ecuación lineal porque si bien todas lasvariables están elevadas a la potencia 1 se tiene un término mixto 3xy que hace que laecuación no se considere lineal.3. No hay relación entre el número de ecuaciones del sistema y el número deincógnitas: Por ejemplo, en (1) y (2) se tienen sistemas de ecuaciones lineales con tantasincógnitas como ecuaciones (dos en el primer caso y tres en el segundo caso) mientras queen (3) hay cuatro incógnitas y tres ecuaciones (es decir, más incógnitas que ecuaciones) yen (4) hay dos incógnitas y tres ecuaciones (es decir, más ecuaciones que incógnitas).4. El sistema de ecuaciones puede ser consistente o inconsistente: Es decir, puedeser que el sistema posea solución o no la posea. Por ejemplo, pronto se verá que la soluciónde (1) es x = 2, y = 3 mientras que (4) no tiene solución pues sustituyendo x1 = 6 enlas otras dos ecuaciones se tiene{6 + 5x2 = 06 − 3x2 = 0 lo cual da x2 = −65 y x2 = 2 y esto esimposible.8

multiplicar una ecuación del sistema lineal por un número real distinto de cero! sumar (restar) ecuaciones distintas del mismo sistema linealDe aquí se pueden definir las tres operaciones elementales que sirven para resolver cualquiersistema de ecuaciones lineales.1. Multiplicación de una fila (ecuación) por un número real distinto de cero: Porejemplo, si tenemos el sistemax1 + 2x2 = 7x2 − 7x3 + x4 = 8x1 + 5x4 = 10(22)que ahora representamos por la matriz aumentada 1 2 0 00 1 −7 11 0 0 5∣∣∣∣∣∣7810 (23)si se busca multiplicar la fila 2 por 3 se denotará como 1 2 0 00 1 −7 11 0 0 5∣∣∣∣∣∣78103f2−→ 1 2 0 00 3 −21 31 0 0 5∣∣∣∣∣∣72410 (24)2. Multiplicación de una fila por un número real distinto de cero y sumarla a otrafila: Por ejemplo, si seguimos con nuestra matriz 1 2 0 00 1 −7 11 0 0 5∣∣∣∣∣∣7810 (25)y deseamos multiplicar la fila 2 por 3 y luego sumarla a la fila 3 se denotará según 1 2 0 00 1 −7 11 0 0 5∣∣∣∣∣∣78103f2 +f3−−−−−→ 1 2 0 00 1 −7 11 3 −21 8∣∣∣∣∣∣7834 (26)3. Intercambio de dos filas: Esta operación consiste en intercambiar de lugar dos filas enla matriz. Por ejemplo, si se desea intercambiar la fila 2 y 3 de nuestra matriz 1 2 0 00 1 −7 11 0 0 5∣∣∣∣∣∣7810 (27)se denotará la operación según 1 2 0 00 1 −7 11 0 0 5∣∣∣∣∣∣7810f2 ,f3−−−→ 1 2 0 01 0 0 50 1 −7 1∣∣∣∣∣∣7108 (28)La idea para resolver un sistema de ecuaciones lineales será utilizar únicamente una combinaciónde estas tres operaciones elementales con el fin de llegar a la matriz escalonada reducida, que seintroduce a continuación.15