Denne formel gælder også hvis \(\textup{dim}V=\infty\) eller \(\textup{dim} V=0\). (Har dog ikke fundet bevis for\((W^\perp)^\perp=W\) når \(\textup{dim}V=\infty\))

Bevis:

Hvis \(\textup{dim} V=0\), så må \(W=W^\perp=V={0}\) og derfor: \(\textup{dim}V=0=0+0=\textup{dim}W+\textup{dim}W^\perp\).

Hvis \(\textup{dim}V=\infty\), bemærk så at udsagnet holder trivielt hvis \(\textup{dim}W=\infty\) eller \(\textup{dim}W^\perp=\infty\). Så hvis \(\textup{dim}W=\infty\) er vi færdige. Antag derfor at \(\textup{dim}W<\infty\). Antag for modstrid at \(\textup{dim}W^\perp<\infty\). Så gælder per TØ-opgave 5 i ugen 10/3-16/3 at \(W+W^\perp={w+u\mid w\in W,u\in W^\perp}\) er et underrrum i \(V\), og per korollar 10.18 er \(V\subseteq W+W^\perp\). Så \(W+W^\perp =V\). Herudover per samme TØ-opgave gælder der:

\(\infty>\textup{dim}W+\textup{dim}W^\perp=\textup{dim}(W+W^\perp)+\textup{dim}(W\cap W^\perp)=\textup{dim}V+\textup{dim}{0}=\infty+0=\infty\)

Og dette er en modstrid. Dermed må \(\textup{dim}W^\perp=\infty\), og så holder udsagnet også.

Q.E.D.