Замечание.Чтобы найти матрицуL, необязательно перемножать все матрицыEj. Еслиаккуратно проводить элементарные преобразования строк, то записывая множители,соответствующие преобразованиям2-го типа, на главной диагонали, а множители,соответствующие преобразованиям3-го типа, под главной диагональю, можно легкосоставить матрицуL(см. элементы, выделенные цветом).Многие компьютерные алгоритмы для решения линейных систем используют элементарныепреобразования строк1-го типа (перемены строк местами). В этом случае существование LU-разложения не гарантировано. Эта проблема решается тем, что перестановки строк делаютсядопоиска LU-разложения.Иными словами, сначала составляем матрицу необходимых перестановокPи проводим этиперестановки с помощью эквивалентного вычисленияPA. LU-разложение мы находим ужедля новой матрицы:PA=LU.(1)МатрицаPявляется произведением матриц элементарных преобразований, поэтому являетсяобратимой. Системы уравненийAx=bиPAx=Pbимеют одни и те же решения. Последняясистема может быть решена с помощью LU-разложения.Тождество (1) ещё иногда записывают в видеA=P−1LU,а соответствующее разложениематрицыAназывают PLU-разложением
Я ни слова не понял уже тут