Könnte man für den Beweis der gleichmässigen Kovnergenz nicht auch so vorgehen: Für \(0 < S < R\) konvergiert die Reihe \(\sum_{n = 0}^{\infty}{|a_n| S^n}\) absolut nach dem ersten Teil. Da für beliebige \(n \in \mathbb{N}\) und \(|z| \leq S\) die Abschätzung \(|\sum_{k =0}^{\infty}{a_k z^k} - \sum_{k = 0}^n a_k z^k| \leq \sum_{k > n}{|a_k|S^k}\) gilt, folgt die gleichmässige Konvergenz.

Es wurde hier nicht spezifiziert ob die Koeffizienten reell oder komplex sind. Der erste Teil des Satzes ist auch für komplexe Koeffizienten formulierbar und korrekt. Ich fände es sinnvoll, den Beweis entsprechend anzupassen. Es fehlen so oder so Absolutbeträge bei \( \limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{c_n y^n}}\) Ferner dürfte man für noch mehr Klarheit den Konvergenzradius der "integrierten" Reihe zum Beispiel \(S\) nennen und sagen, dass der erste Teil des Beweises die Ungleichung \(S \leq R\) und der zweite Teil die Ungleichung \(R \leq S\) liefert. Sollte ich das denn richtig verstanden haben.

Man kann sogar etwas allgemeiner zeigen, dass für jede komplexe Zahl \(z\) und jede Folge \((z_n)_n\) in \(\mathbb{C}\) mit Grenzwert \(z\) gilt: \(\exp(z) = \lim_{n \rightarrow \infty}{(1 +z_n/n)^n}\). Dies liefert dann einen alternativen Beweis für die Additionsformel weiter unten.

Sollte man hier nicht nur ganzzahlige positive Werte für \(p\) zulassen? Was ist \( (-0.2)^{0.1}\) ?

von was ein Häufungspunkt? ;-)