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  1. Mar 2019
    1. Evolução da carga

      $$ \begin{aligned} Q(t) & \equiv Q_{\nabla\phi}(\Sigma) := {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} \langle \nabla\phi, \nu \rangle d\sigma_g \\ %% & = {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} d\phi \cdot \nu d\sigma = {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} \frac{\partial\phi}{\partial\nu} d\sigma \end{aligned} $$

      $$ \begin{aligned} \Longrightarrow \frac{dQ}{dt} = {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} \left[ d(\partial_t \phi) \cdot \nu + d\phi \cdot \partial_t \nu + d\phi \cdot \nu \frac{tr_{\Sigma} \partial_t g}{2} \right] d\sigma \end{aligned} $$

      Tomando \( \alpha = 2 \), obtemos: $$ \begin{aligned}

      • {tr_{\Sigma} \partialt g \over 2} & = R - Rc(\nu, \nu) - \alpha \left( |\nabla \phi|^2 - (\partial{\nu} \phi)^2 \right) \ & = R - Rc(\nu, \nu) - 2 \left( |\nabla \phi|^2 - (\partial_{\nu} \phi)^2 \right) \end{aligned} $$
    2. the maximum principle above, yieldsSmin(t)≥Smin(0)1−2tmSmin(0)(5.3)for allt≥0 as long as the flow exists
    3. Theorem 4.4Let(g(t),φ(t))solve(RH)αwithα(t)≡α >0. ThenSandSdefined as above satisfy thefollowing evolution equations∂∂tS=△S+ 2|Sij|2+ 2α|τgφ|2,∂∂tSij=△LSij+ 2ατgφ∇i∇jφ.(4.14)Proof.This follows directly by combining the evolution equations from Proposition4.2withthose from Proposition4.3.Remark.Note that in contrast to the evolution of Rc,R,∇φ⊗∇φand|∇φ|2the evolutionequations in Theorem4.4for the combinations Rc−α∇φ⊗∇φandR−α|∇φ|2donotdepend on the intrinsic curvature ofN.

      Note que,

      $$\alpha = 2 \Longrightarrow S = R - 2 |\nabla \phi|^2,$$

      que é justamente a função que precisamos estimar (veja prova do corolário 5.2), no caso particular de um campo gradiente.

      Haja visto que no na aproximação eletrostática do eletromagnetismo clássico, o campo elétrico (em domínios simplesmente conexos) é gerado por um potencial escalar, isso sugere que, pelo menos nessa aproximação particular, podemos utilizar esse fluxo \((RH)_{\alpha}\), tomando o pontical elétrico como dado inicial para o fluxo do calor para mapas harmônicos.

      Essa ideia é inspirada nas ideias das seções 2 e 3, desse artigo do Benhard List, onde ele observa que soluções estáticas desse fluxo, com \(\alpha\) escolhido adequadamente, coincide com as soluções estáticas para a equação de Einstein no vácuo.