168 Matching Annotations
  1. Jul 2019
    1. here exists a se-quence of initial data that satisfy all the hypothesis of item (i) and suchthat in the limit the equality in (3) is achieved. In this limit, the radius,the charge and the total mass of this sequence tend to zero.
  2. Jun 2019
    1. A standard computation using the Gauss equation shows that∂f∂t(0,t′) =ddt|Σ0|g(t)(t′) =−∫Σ0(R−Ric(ν,ν))dμ=−4πχ(Σ0)−∫Σ0(Ric(ν,ν) +|A|2)dμ,where all geometric quantities are computed with respect tog(t′).
  3. arxiv.org arxiv.org
    1. A computation in coordinates shows that the Ricci tensor ofhis given byRich(X,X) =−(1V∆gV)h(X,X),Rich(X,Z) = 0,Rich(Y,Z) =Ricg(Y,Z)−1V(HessgV)(Y,Z)
    2. The structure of the metrichnear the singular set clearly implies thatgeodesics realizing the distance between a point inNand a component of∂Mmeets∂Morthogonally. The proof of this fact is essentially the sameas the proof of the Gauss’ Lemma.
  4. Mar 2019
    1. Evolução da carga

      $$ \begin{aligned} Q(t) & \equiv Q_{\nabla\phi}(\Sigma) := {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} \langle \nabla\phi, \nu \rangle d\sigma_g \\ %% & = {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} d\phi \cdot \nu d\sigma = {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} \frac{\partial\phi}{\partial\nu} d\sigma \end{aligned} $$

      $$ \begin{aligned} \Longrightarrow \frac{dQ}{dt} = {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} \left[ d(\partial_t \phi) \cdot \nu + d\phi \cdot \partial_t \nu + d\phi \cdot \nu \frac{tr_{\Sigma} \partial_t g}{2} \right] d\sigma \end{aligned} $$

      Tomando \( \alpha = 2 \), obtemos: $$ \begin{aligned}

      • {tr_{\Sigma} \partialt g \over 2} & = R - Rc(\nu, \nu) - \alpha \left( |\nabla \phi|^2 - (\partial{\nu} \phi)^2 \right) \ & = R - Rc(\nu, \nu) - 2 \left( |\nabla \phi|^2 - (\partial_{\nu} \phi)^2 \right) \end{aligned} $$
    2. the maximum principle above, yieldsSmin(t)≥Smin(0)1−2tmSmin(0)(5.3)for allt≥0 as long as the flow exists
    3. Theorem 4.4Let(g(t),φ(t))solve(RH)αwithα(t)≡α >0. ThenSandSdefined as above satisfy thefollowing evolution equations∂∂tS=△S+ 2|Sij|2+ 2α|τgφ|2,∂∂tSij=△LSij+ 2ατgφ∇i∇jφ.(4.14)Proof.This follows directly by combining the evolution equations from Proposition4.2withthose from Proposition4.3.Remark.Note that in contrast to the evolution of Rc,R,∇φ⊗∇φand|∇φ|2the evolutionequations in Theorem4.4for the combinations Rc−α∇φ⊗∇φandR−α|∇φ|2donotdepend on the intrinsic curvature ofN.

      Note que,

      $$\alpha = 2 \Longrightarrow S = R - 2 |\nabla \phi|^2,$$

      que é justamente a função que precisamos estimar (veja prova do corolário 5.2), no caso particular de um campo gradiente.

      Haja visto que no na aproximação eletrostática do eletromagnetismo clássico, o campo elétrico (em domínios simplesmente conexos) é gerado por um potencial escalar, isso sugere que, pelo menos nessa aproximação particular, podemos utilizar esse fluxo \((RH)_{\alpha}\), tomando o pontical elétrico como dado inicial para o fluxo do calor para mapas harmônicos.

      Essa ideia é inspirada nas ideias das seções 2 e 3, desse artigo do Benhard List, onde ele observa que soluções estáticas desse fluxo, com \(\alpha\) escolhido adequadamente, coincide com as soluções estáticas para a equação de Einstein no vácuo.

  5. Jul 2018
  6. arxiv.org arxiv.org
    1. Forsimplicity, let us assume that the boundary of Ω has only one component.Letι: Σ :=∂Ω→Rnbe its isometric embedding. Letν:ι(Σ)→Sn−1be the outer unit normal. Sinceι(Σ) is assumed to be a strictly convexhypersurface inRnthere is a smooth family of embeddingsF: Σ×[0,∞]→RnwhereFt(σ) =F(σ, t) =ι(σ) +tν(ι(σ)).Note thatFt(Σ) are the ‘outer’ distance surfaces ofι(Σ). IfˆΩ denotes thebounded domain enclosed byι(Σ), then{Ft(Σ)}t≥0foliatesRn\ˆΩ and theEuclidean metric on this set can be written asG=dt2+gt,wheregtis the first fundamental form of the embeddingFt: Σ→Rn.
  7. Jun 2018
    1. Windows Video Tutorial Download the Git for Windows installer. Run the installer and follow the steps bellow: Click on "Next". Click on "Next". Keep "Use Git from the Windows Command Prompt" selected and click on "Next". If you forgot to do this programs that you need for the workshop will not work properly. If this happens rerun the installer and select the appropriate option. Click on "Next". Keep "Checkout Windows-style, commit Unix-style line endings" selected and click on "Next". Keep "Use Windows' default console window" selected and click on "Next". Click on "Install". Click on "Finish". If your "HOME" environment variable is not set (or you don't know what this is): Open command prompt (Open Start Menu then type cmd and press [Enter]) Type the following line into the command prompt window exactly as shown: setx HOME "%USERPROFILE%" Press [Enter], you should see SUCCESS: Specified value was saved. Quit command prompt by typing exit then pressing [Enter] This will provide you with both Git and Bash in the Git Bash program.

      Instruções de instalção do git para windows

  8. May 2018
    1. Nos artigos arXiv:1503.00508 e arXiv:1408.3893 os autores provam que a energia ADM e o centro de massa intrínseco podem ser redefinidos em termos do tensor de Einstein. A origem dessa expressão pra energia ADM em termos do tensor de Einstein é atribuída ao Ashtekar e a Hansen, cujo trecho do artigo que trata desse assunto destaco nessa nota. O Piotr Chruściel também menciona essa expressão nesse trecho de um dos seus artigos.

      Gostaria de esclarecer o argumento que leva o Ashtekar e a Hansen a essa expressão. Quais são as razões físicas e geométricas?

    2. there is a natural vector space preserving isomorphism between the space of functions on I< and supertranslations on Spi, and that functions on l< which thus correspond to trans-lations are of the type (f(k))(1)) = ka1)a for some vector ka in the tangent space of iO. Consider the linear mapping f(k) -~ r 2 Eab(Dbf(k)kamndSW'n . s (23a) from the space of translations to the reals, where S2 is a 2-sphere cross section of the hyperboloid. Using the definition of f(k), it follows that DaD/Jf(k) '" -f(k)hab• Thus, D'lf(k) is a conformal Killing field on l<. Since Eab is both trace and divergence free, it follows that the integral in Eq. (22) is independent of the choice of the cross section. Thus, we have obtained a conserved quantity which takes values in the dual of the vector space of translations. This is the total 4-momentum. It is not difficult to show that this conserved quantity is essentially the same as the ADM 4-momentum. 6,3 (That is, the two agree when both are defined. )
  9. arxiv.org arxiv.org
    1. forα= 1, . . . , n, letY(α)be the Euclidean conformalKilling vector field(|x|2δαi−2xαxi)∂∂xi,define(1.7)cαI(r) =12(n−1)(n−2)ωn−1m∫Sr(Ric−12Rgg)(Y(α), νg)dσgandcI(r) = (c1I(r), . . . , cnI(r)).
    2. the ADM massmcan be computedusing the curvature ofgas follows1: Consider(1.3)mI(r) =1(n−1)(2−n)ωn−1∫Sr(Ric−12Rgg)(X, νg)dσg,where Ric andRgare the Ricci tensor and the scalar curvature ofgrespectively,Xis the Euclidean conformal Killing vector fieldxi∂∂xi,νgis the unit outward normal anddσgis the area element onSrwithrespect tog.
    1. the ADM pw can be written in the Ashtekar-Hansen form [lo]?: ppXp = lim (1 (-det g)l/2~wvapXpxYRnPpu dxP A dx" r+m r=constant d((-det g)'/2&,,,px"XpgaYT~p dxp) (32~)-' +2 I r=constant ) = lim (i (-det g)l/2R,,apXpx" dS"@)(16~)-'
    1. Definition 1.4(Fill-ins).
    2. quasi-local mass quantity is defined in [16] for fill-ins (Ω,g)∈ ̊F(Σ,γ)as follows:m(Ω,g) := Λ(Σ,γ)−18π∫ΣHgdσ.(1.7)HereHgis the mean curvature of the boundary Σ with respect to theunit outward norma
  10. arxiv.org arxiv.org
    1. Let(M, g)#(M ,g)be a two-sided asymptotically flat hypersurfaceas above. LetΓ֒→Mbe a smooth, compact inner boundary lying on some totallygeodesic hypersurfaceP ֒→Mand assume that, alongΓ,Mis orthogonal toP.Then, if orientations are fixed as above,mg=mh−cn∫Γ〈X, η〉s1(N)dΓ ++cn∫M(2S2ΘX+ Ricg(N,XT))dM,(1.10)wheres1(N)is the mean curvature ofΓ֒→Pwith respect toN,ηis the exteriorunit co-normal toM,S2is the2-mean curvature ofM(see (2.2) below) andXTis the tangential component ofXalongM.
    1. we use the dilationinvariance of weighted H ̈older norms together with suitable curvature conditionsto obtain uniform bounds of solutions to the initial value problem (1) with initialconditionu−1(1 +ǫ,·) on [1 +ǫ,∞). By Arzela-Ascoli Theorem, there exists aweak solution to (1) withu−1(1,·) = 0 (Theorem 2). S
    2. We introduce the scaling transformation ̃u(t) =√tt+ 1u(t+ 1) wheret∈(0,∞).
    1. Enno Nagel

      Incluir link pra sua página pessoal

    2. Abu-Mostafa, Yaser S., Malik Magdon-Ismail, e Hsuan-Tien Lin. 2012. Learning from Data. Vol. 4. AMLBook New York, NY, USA:

      Incluir link para cópia do livro.

    3. Devolvê o último w(t)

      Determina o último valor \( w(t) \) onde parou a interação.

    4. as melhoras são insuficientemente importantes

      ou seja, as variações do erro são suficientemente pequenas

    5. ΔED<

      \( E_D \) for menor do que um

    6. diminuição do erro

      variação do erro

    7. o erro

      ou seja, quando o erro

    8. como resgate

      como um critério

    9. ED<

      \(E_D \) for menor do que um

    10. vt := −gt

      $$v_t = - \frac{g_t}{||g_t||}$$

    11. Chegamos ao:

      Assim, chegamos ao

    12. diminui o mais

      decresce mais rápido

    13. w = v

      $$w = \lambda v, \lambda \in \mathbb{R}$$

    14. ∇ED(w)

      $$\nabla E_D (w) = \left( \frac{\partial E_D}{\partial w^1}(w), \ldots, \frac{\partial E_D}{\partial w^d}(w) \right)^{\top}$$

    15. ED = N−1∑n = 1, ..., Nlog(1 + e−ynwTxn)

      $$ E_D (w) \equiv - N^{-1} \log P_h (y_1, \ldots, y_N \vert x_1, \ldots, x_N) = N^{-1} \sum_{n=1}^{N} \log \left( 1 + e^{-y_n w^{\top} x_n} \right)$$

    16. derivado ( = gradiente)

      gradiente

    17. θ(s)=e−s + 1

      \( \frac{1}{\theta(s)} = \frac{1 + e^s}{e^s} = e^{-s} + 1 \), concluímos que

    18. Esta soma iguala, substituindo Equação 4.2,

      Substituindo Equação 4.2, obtemos:

    19. −N−1log(P(y1|x1)⋯P(yN|xN)) = N−1log(1/P(y1|x1)) + ⋯ + log(1/P(yN|xN))

      \(P_h\) em vez de \(P\)

    20. se e tão-somente se

      se e somente se

    21. pelo fator

      devido a presença do fator

    22. monótona e decrescente

      monótona decrescente

    23. logaritmo: Pois a função

      logaritmo. Como a função

    24. são rapidamente minúsculos

      decrescem a zero rapidamente

    25. e−⋅ = 1/exp

      $$e^{-s}= 1/\exp{s}$$

    26. se simplifica a

      pode ser simplificada da seguinte forma:

    27. Pois

      Como

    28. por

      por:

    29. mas indiretamente

      mas revela indiretamente

    30. que mais exatamente

      mais exatamente que

    31. por

      por:

    32. cardíaco y = 1

      cardíaco, y = 1

    33. que ela aproxima as duas extremidades

      que as duas extremidades se aproximam dos valores 0 e 1 rapidamente.

    34. credor

      devedor

    35. tanto mais provável que

      mais provável que...

    36. a sua pontuação

      o valor

    37. :

      Ponto final, em vez de dois pontos

    38. por exemplo,

      Por exemplo, nas questões:

    39. ,

      Ponto de interrogação, em vez de virgula

    40. ,

      Ponto de interrogação, em vez de virgula

    41. ),

      Ponto final, em vez de virgula

    42. é em

      está no intervalo

    43. Quando

      Se aplica quando:

  11. arxiv.org arxiv.org
    1. X(α)=r2∂α−2xαxi∂i,i.e. Xis the essential conformal Killingfield ofRnobtained by conjugating a translation by the inversion map,one hasδeX(α)=2nxα=2nV(α)

      $$\partial_{\alpha} = Dx^{\alpha}$$

      $$2x^i \partial_i = Dr^2$$

      $$\Longrightarrow X^{(\alpha)} = r^2 Dx^{\alpha} - x^{\alpha} Dr^2$$

  12. Apr 2018
    1. Theorem 2.1.The initial value problem (2.1) has a unique solutionuonΣ0×[0,∞)such that(a)u(z) = 1 +m0ρn−2+vwherem0is a constant andvsatisfies|v|=Oρ1−nand|∇0v|=O(ρ−n);(b)The metricds2=u2dr2+gris asymptotically flat in the sense of (2.23) with scalarcurvatureR≡0outsideΣ0;(c)The ADM massmADMofds2is given byc(n)mADM= (n−1)ωn−1m0= limr→∞ZΣrH0(1−u−1)dσr= limr→∞ZΣr(H0−H)dσr,for some positive constantc(n), whereH0andHare the mean curvatures ofσrwith respect to the Euclidean metric andds2respectively.

      A menos de uma normalização, o valor constante no item (c) pode ser escolhido como sendo $$c(n)= 2(n-1) \omega_{n-1}$$

    2. ∇0and∇20are the gradient and Hessianoperator of the Euclidean metric respectively. If we writeu2dr2+gr=∑i,jgijdzidzj.Then direct computations show (see the computations in (2.24), (2.27) below, for example):(2.23)|gij−δij|+ρ|∇0gij|+ρ2|∇20gij|≤Cρ2−n.By the result in [B1], the ADM mass of the metricds2=u2dr2+gris well defined, becausethe scalar curvature ofds2is zero outside a compact set.
    3. the scalar curvatureRofds2is given byR= (1−u−2)Rρ+u−2n−1∑i,jR0ijij+ 2n−1∑i=1Rnini= (1−u−2)Rρ+u−2R0−2u−1∆ρu+ 2u−3∂u∂ρH0whereR0is the scalar curvature ofNwith respect tods20andRρis the scalar curvatureof Σρwith the induced metric.
    4. he second fun-damental formhijof Σρwith respect tods2is given by(1.6)hij=u−1h0ij.
    5. he second fundamental formh0ij,1≤i,j≤n−1 of Σρwith respect to the normalen=∂∂ρis given by(1.3)ωni=n−1∑j=1h0ijωj.
  13. Mar 2018
    1. The key ingredi-ent, introduced by Reiris in [23], is the monotonicity of the Hawking energy(equivalent to the Misner-Sharp energy in spherical symmetry) on untrappedregions.
    2. We only need to compute the null expansions of thespheres in term of the mass and the charge
    3. Wesay the data iselectrovacuumifμM= 0 andj= 0.
    4. Theξibe one of the Killing vectors that generate the groupSO(3), then we say thethe initial data set isspherically symmetricif£ξhij=£ξKij=£ξμ=£ξji= 0,(100)for all the generatorsξofSO(3),
    5. In theorem 1, for the fist time, the sameradius definition is used for both bodies and black holes
    6. The hypothesis of asymptotic flatness is necessary:
    7. A re-gion between two concentric balls is said to beuntrappedifθ+θ−>0 on thatregion. The region it is said to betrappedifθ+θ−<0. The outer boundaryof a trapped region on an asymptotically flat data is called ahorizonand itsatisfiesθ+θ−= 0.

      Veja mais em arXiv: 0906.5566

    8. we restrict ourselves to spherically symmetric initial data where the3-dimensional Riemannian manifold is taken to beR3. We call themreg-ular spherically symmetricinitial data. We also assume that the data areasymptotically flat.
    9. ∂Bbe a sphere centered at the origin with area radiusR. That is,the area of∂Bis given by 4πR2.
  14. Jan 2018
    1. the standard definition of the Riemannian diameter of a setAin the setB⊇A, where bothAandBare subsets of a Riemannian manifold (M,g)(2.1)diam(A,B) := supx,y∈Ainfγ:[0,1]→Bγ(0)=x,γ(1)=y∫10| ̇γ(s)|gds.
  15. Sep 2017
    1. Download the LineageOS install package that you’d like to install or build the package yourself.

      Nesse passo você pode substituir essa rom pela Resurrection Remix OS

    1. Odin Install Method (No Root Required):

      Esse método parece que funciona no funciona no windows.

      Os seguintes tutoriais detalham mais esse método de instalação:

    1. LetNn+1be a complete Riemannian manifold with metrich;i, Levi-Civita connectionrand the usual exponential mapping exp :TN!N.Consider a hypersurfaceMnofNn+1. Givenp2Mnand a xed unitaryvector0that is normal toMnatp, we can parametrize a neighborhood ofMncontainingpand contained in a normal ball ofNn+1as(1.1)'(x) = expp(x+(x)0);where the vectorxvaries in a neighborhoodWof zero inTpMand:W!Rsatis es(0) = 0. Observe thatis unique.
    2. Theorem 1.1.LetMn1andMn2be hypersurfaces ofNn+1that are tan-gent atpand let0be a unitary vector that is normal toMn1atp. SupposethatMn1remains aboveMn2in a neighborhood ofpwith respect to0. De-note byH1r(x)andH2r(x)ther-mean curvature atx2WofMn1andMn2,respectively. Assume that, for somer,1rn, we haveH2r(x)H1r(x)in a neighborhood of zero; ifr2, assume also that2(0), the principal cur-vature vector ofM2at zero, belongs tor. ThenMn1andMn2coincide in aneighborhood ofp

      Princípio da tangência no interior, para as curvaturas médias de ordem superior.

    3. A TANGENCY PRINCIPLE AND APPLICATIONS 215Suppose thatMn1remains aboveMn2in a neighborhood ofpwith respect to0.Denote byH1r(x)andH2r(x)ther-mean curvatures atx2WofMn1andMn2,respectively. Assume that, for somer,1rn, we haveH2r(x)H1r(x)in a neighborhood of zero. Ifr2, assume also that2(0), the principalcurvature vector ofM2at zero, belongs tor. ThenMn1andMn2coincide ina neighborhood ofp.

      Princípio da tangência no bordo, para as curvaturas médias de ordem superior.

    4. LetMn1andMn2be hypersurfaces ofNn+1that are tangentatp, i.e., which satisfyTpM1=TpM2. Fix a unitary vector0that is normaltoMn1atp. We say thatMn1remains aboveMn2in a neighborhood ofpwith respect to0if, when we parametrizeMn1andMn2by'1and'2asin (1.1), the corresponding functions1and2satisfy1(x)2(x) in aneighborhood of zero.

      O conceito de uma hipersuperfície está (localmente) acima ou abaixo de uma outra.

    1. Lemma 4.2.The functionm(r) =ZΣrH0(1−u−1)dσris nonincreasing inr, whereH0is the mean curvature ofΣrinRn.

      Essa fórmula de monoticidade de fato vale em um cenário mais amplo, vide essa anotação, por exemplo.

    2. we can solve (2.1)with initial valueu−10= 0. In fact, by Lemma 2.2,u0satisfies:1−exp−Zr0ψ(s)ds−12≤u0(x,r)≤1−exp−Zr0φ(s)ds−12.This means that Σ0is a minimal surface with respect to the asymptotically flat metricu2dr2+gr.

      Esse é um ingrediente fundamental na nossa abordagem para a desigualdade de Alexandrov-Frenchel via desigualdade de Penrose.

    3. solve (2.1) and show that the metricds2=u2dr2+gris asymptotically flatoutside Σ0. We will also compute the mass ofds2.

      Vide teorema 2.1, no final da sessão.

    4. Let Σ0be a compact strictly convex hypersurface inRn,Xbe the position vector ofa point on Σ0, and letNbe the unit outward normal of Σ0atX. Let Σrbe the convexhypersurface described byY=X+rN, withr≥0. The Euclidean space outside Σ0canbe represented by(Σ0×(0,∞),dr2+gr)wheregris the induced metric on Σr. Consider the following initial value problem(2.1)2H0∂u∂r= 2u2∆ru+ (u−u3)Rron Σ0×[0,∞)u(x,0) =u0(x)whereu0(x)>0 is a smooth function on Σ0,H0andRrare the mean curvature and scalarcurvature of Σrrespectively, and ∆ris the Laplacian operator on Σr.

      Note que de agora em diante o autor se detém a estudar esse caso particular, onde estão inteiramente determinadas as geometrias intrínseca e extrínseca das folhas do semi cilindro, obtido folheando-se pelas paralelas o exterior da hipersuperfície estritamente convexa dada a priori.

    5. u2dρ2+gρhas the scalar curvatureR, if and onlyifusatisfies(1.10)H0∂u∂ρ=u2∆ρu+12(u−u3)Rρ−12uR0+u32R.

      Observe que essa equação fica inteiramente determinada pela especificação da geometria intrínseca e extrínseca das folhas.

      Para uma ideia do que é essencial se saber sobre a geometria das folhas do semi cilindro, vide essa anotação.

    6. Given a functionRonN, we want to find the equation forusuch that(1.2)ds2=u2dρ2+gρhas scalar curvatureR.

      O papel da aplicação \( u: N \longrightarrow \mathbb{R} \) é distorcer as fibras do semi cilindro \( N \), por dilatações e torções, deixando a geometria intrínseca das folhas invariante, de tal forma que o resultado seja um semi cilindro com a curvatura escalar prescrita \( \mathcal{R} \).

    7. Let Σ be a smooth compact manifold without boundary with dimensionn−1 and letN= [a,∞)×Σ equipped with a Riemannian metric of the form(1.1)ds20=dρ2+gρfor a point (ρ,x)∈N. Heregρis the induced metric on Σρwhich is the level surfaceρ=constant

      Isso significa que a construção a seguir é feita a partir de um semi cilindro em que a geometria das folhas é dada a priori.

      Esse artigo não trata da construção desse semi cilindro inicial.

  16. arxiv.org arxiv.org
    1. By (4), we haveddtZΣ×{t}(Hη−Hu)dσt!=ZΣ×{t}(η−1−u−1)H21+K(η−u)−12(η−1−u−1)(H21+|h1|2)dσt.(9)By the Gauss equation and the assumption thatRic(gη) = 0, we have(10)2K=H2η−|hη|2=η−2(H21−|h1|2).Therefore, it follows from (9) and (10) that(11)ddtZΣ×{t}(Hη−Hu)dσt!=−ZΣ×{t}K(η−u)2u−1dσt≤0,where we also used the assumption thatK >0.
    2. Assumption:The scalar curvatureR(gt) =: 2Kofgtand the meancurvatureH1of the leaves Σ×{t}with respect tog1are everywhere positive.Proposition 2(cf. [2], [23], [22]).Under the above assumption, given anypositive functionu0onΣ×{0}, there is a smooth positive functionuonΣ×[0, t0]such that the scalar curvatureR(gu)ofguis identically zero andu|t=0=u0.

      A prova dessa proposição deixa mais claro o que é essencial saber sobre a geometria das folhas do semi cilindro reto, para que seja possível deformar suas fibras prescrevendo a curvatura escalar, conforme foi descrito (com mais generalidade) por Shi-Tam.

  17. Aug 2017
  18. Jul 2017
    1. ξi(t) =ξip+t Xi−t22ΓijkXjXk+O(‖tX‖3)

      Usa-se o fato de que geodésicas são soluções do problema de valor inical:

      $$ \begin{aligned} \ddot{\gamma}^i_{p,q}(t) & = - \Gamma^i_{jk}(t) \dot{\gamma}^j_{p,q}(t) \dot{\gamma}^k_{p,q}(t) \\ \dot{\gamma}_{p,q}(0) & = X(p,q) \end{aligned} $$

    2. he canonical divergence D induces the metric g and the connections∇and∇∗. The same holds for the mean canonical divergence D∇mcd
    3. if∇is integrable, then it is notgenerally true that X(q,p) =−gradqD∇mcd(p‖·)
    4. mean canonical divergenceD∇mcd(p‖q):=12(D(p‖q) +D∗(q‖p))(64)which obviously satisfiesD(∇∗)mcd(p‖q) =D∇mcd(q‖p)
    5. he energy of the geodesicγp,qas the symmetrized version of the canonical divergence:12(D(p‖q) +D(q‖p))=12∫10∥∥ ̇γp,q(t)∥∥2dt

      Fazendo a mudança de variável $$ s \mapsto t(s) = 1- s $$ e usando o fato de que \( \gamma_{q,p}(s) = \gamma_{p,q}(1 - s) \), temos: $$ \begin{aligned} D(q||p) & := \int0^1 s ||\dot{\gamma}{q,p}(s)||^2 ds \ & = - \int1^0 (1 - t) ||\dot{\gamma}{p,q}(t)||^2 dt \ & = \int0^1 ||\dot{\gamma}{q,p}(t)||^2 dt - D(p||q) \end{aligned} $$

    6. D(p‖q) =∫10t∥∥ ̇γp,q(t)∥∥2dt(61)whereγp,qdenotes the geodesic from p to q.

      Até o momento, a conexão dual parece não desempenhar nenhum papel.

    7. D(p‖q) =∫10(1−t)∥∥ ̇γq,p(t)∥∥2dt
    8. inverse exponential map atγq,p(t)satisfiesXt(q,p)= (1−t) ̇γq,p(t)

      $$ \tilde{\gamma}_{\gamma_{q,p}(t),p}(s) = \gamma_{q,p}(t + s(1-t)), s \in [0,1] $$

      $$ \Longrightarrow X_t(q,p) := \dot{\tilde{\gamma}}_{\gamma_{q,p}(t),p}(s)\vert_{s=0} = (1 - t) \dot{\gamma}_{q,p}(t) $$

    9. n-dimensional dual manifold(M,g,∇,∇∗). Consider a∇-geodesicγq,p:[0, 1]→Mconnectingqandp. We define a tangent vector fieldXt(p,q)along this geodesic:Xt(q,p):=X(γq,p(t),p)(52)Obviously,X0=X(q,p)(53)X1(q,p) =0(54)Definition 3.A canonical divergence from p to q is defined by the path integralD(p‖q) =∫10〈Xt(q,p), ̇γq,p(t)〉dt

      Qual o papel da conexão dual?

    10. ∫10〈X(γ(t),p), ̇γ(t)〉dt=−∫10〈gradγ(t)Dp, ̇γ(t)〉dt=−∫10(dγ(t)Dp)( ̇γ(t))dt=−∫10d Dp◦γd t(t)dt=Dp(γ(0))−Dp(γ(1))=Dp(q)−Dp(p) =Dp(q) =D(p‖q)(13)In particular, we can apply this derivation to the geodesic connectingqandpeven when theintegrability ofXis not guaranteed and obtain the definition of a general canonical divergence
    11. functionsDpsatisfying the condition of Equation (12) then they are uniqueup to a constant that can vary withp, and we can therefore assumeDp(p) =0
    12. aRiemannian metricgonM. Given such a metric, we assumeintegrabilityofXand∇, respectively,in the sense that for allpthere exists a functionDpsatisfyingX(q,p) =−gradqDp
    13. although being quite restrictive in general, thisproperty will be satisfied in our information-geometric context, wheregis given by the Fisher metricand∇is given by them- ande-connections and their convex combinations, theα-connections
    14. pointspandq, one can interpret anyXwith expq(X) =pas a difference vectorXthattranslatesqtop
    15. p−q=−gradqDp(9)Here, the gradient gradqis taken with respect to the canonical inner product onRn

      De outra forma, podemos postular que a divergência canônica é a solução da edp: $$ D_p(q) = {1 \over 2 } |grad_q D_p|^2 $$

    16. fixed pointp∈M, we want to define a vector fieldq7→X(q,p), at least in a neighbourhood ofp, thatcorresponds to the difference vector field
    17. manifold is dually flat, a canonical divergence was introduced by Amari and Nagaoka [2], which isa Bregman divergence
    18. a divergence exists for any such manifold. However, it isnot unique and there are infinitely many divergences that give the same geometrical structure
    19. find a divergenceDwhich generates a given geometrical structure(M,g,∇,∇∗)
    20. the coefficientsDΓijk(p) =−∂i∂j∂′kD(ξp‖ξq)∣∣q=p(5)DΓ∗ijk(p) =−∂′i∂′j∂kD(ξp‖ξq)∣∣∣q=p(6)define a pair of dual affine connectionsD∇andD∇∗[1]. The duality of the connections holds withrespect to the Riemannian metricDgin terms of the following condition:X〈Y,Z〉=〈D∇XY,Z〉+〈Y,D∇∗XZ〉(7)for all vector fieldsX,YandZ, where the brackets〈·,·〉denote the inner product with respect toDg
    21. he coefficients of the Riemannian metric can be written asDgij(p) =−∂i∂′jD(ξp‖ξq)∣∣∣q=p=∂′i∂′jD(ξp‖ξq)∣∣∣q=p
    22. When a coordinate systemξ:p7→ξp= (ξ1p, . . . ,ξnp)∈Rnis given inM, we pose one condition that, for two nearby pointsξpandξq=ξp+∆ξ,Dis expanded asD(p‖q) =12Dgij(p)∆ξi∆ξj+O(‖∆ξ‖3)(2)and(Dgij(p))ijis a positive definite matrix.
    23. A divergence functionD(p‖q)is a differentiable real-valued function of two pointspandqin amanifoldM. It satisfies the non-negativity conditionD(p‖q)≥0(1)with equality if and only ifp=q.

      A saturação (rigidez) da desigualdade é uma espécie de não-degenerescência da divergência.

  19. Jun 2017
    1. Given a complete Riemannian 3-manifold (M,g), its isoperimetricprofile with volumeVis defined asI(V) =inf{H2(∂∗Ω) : Ω⊂M is a Borel set with(2.11)f inite perimeter andH3g(Ω) =V}.
    1. VARA DE CRATEÚS Criada pela Lei nº 8.432 de 11/06/1992 Data de instalação: 22/06/1993 Juiz Titular: Laura Anisia Moreira de Sousa Pinto Diretor de Secretaria: Francisco Alves de Mendonça Junior Endereço: Rua Hermínio Bezerra, 801 Bairro: Planalto CE-075 CEP: 63.700 - 000 Crateús/CE Email: varacra@trt7.jus.br Telefone: (88) 3691-2040 / 3691-2473 Jurisdição: Ararendá, Crateús, Hidrolândia, Independência, Ipaporanga, Ipueiras, Monsenhor Tabosa, Novo Oriente, Nova Russas, Parambu, Poranga, Quiterianópolis, Santa Quitéria, Catunda, Tamboril e Tauá.
    1. Não são efetuados cálculos de trabalhadores sem carteira assinada. A orientação é que procurem a Justiça do Trabalho.
  20. May 2017
  21. arxiv.org arxiv.org
    1. TM-valued symmetric bilinear form Ξ :TxM×TxM→TxM,Ξ(X,Y) = ̃h(df(X),df(Y))∇Mψ+g(∇Mψ,X)Y+g(∇Mψ,Y)X

      Essa expressão pode ser reescrita sa seguinte forma: $$ \Xi = e^{2\psi} \nabla^M \psi f^{\ast}h + d\psi \otimes d\mathbb{I} + d\mathbb{I} \otimes d\psi, $$

      onde \( \mathbb{I}: M \longrightarrow M \) denota a o mapa de identidade da base \( M \).

  22. arxiv.org arxiv.org
    1. the 2-tensorE(k)is defined byE(k)ij:=−12k+1gliδli1i2···i2k−1i2kjj1j2···j2k−1i2kRi1i2j1j2···Ri2k−1i2kj2k−1j2k.Here the generalized Kronecker delta is defined byδj1j2...jri1i2...ir= detδj1i1δj2i1···δjri1δj1i2δj2i2···δjri2............δj1irδj2ir···δjrir.As a convention we setE(0)= 1. It is clear to see thatE(1)is the Einstein tensor. The tensorE(k)ijis a very natural generalization of the Einstein tensor. We callE(k)thek-th Lovelockcurvature
  23. arxiv.org arxiv.org
    1. by the Gauss formula we have(4.8)eRslij=hsihlj−hlihsj.
    2. Pstjl(k)=12δi1i2···i2k−3i2k−2stj1j2···j2k−3j2k−2j2k−1j2khj1i1hj2i2···hj2k−2i2k−2gj2k−1jgj2kl,which implies by (2.20) that(4.10)2ePstjl(k)hsj= (2k−1)! (T(2k−1))tpgpl

      Esse resultado faz uso apenas do fato de que o ambiente tem curvatura seccional constante, da fórmula de Gauss (vide nota anterior) e das definições do tensor de curvatura \( \tilde{P}_{(k)} \) e do tensor de Newton, respectivamente.

    1. the variations of various tensors under the Ricci flow: (31)
    2. Lichnerowicz Laplacian (or Hodge-de Rham Laplacian) on symmetric rank (0,2) tensors is defined by the formula (14) and is the usual connection Laplacian
    3. variation formula for the Ricci tensor (13) where is the trace, and the Lichnerowicz Laplacian (or Hodge-de Rham Laplacian) on symmetric rank (0,2) tensors is defined by the formula (14) and is the usual connection Laplacian.
  24. Apr 2017
  25. arxiv.org arxiv.org
    ()
    17
    1. ∇∗dΓf(X,Y) = (0, ̄∇df(X,Y) +df(Ξ(X,Y)))⊥

      Decomposição da segunda forma fundamental em termos da hessiana da aplicação

    2. ∇df(X,Y) =∇f−1X(df(Y))−df(∇MXY) =∇Ndf(X)(df(Y))−df(∇MXY)
    3. Hessian offfor the Levi-Civita connections∇Mand∇N
    4. (Y,U)⊤and (Y,U)⊥the ̃g-orthogonal projections ontoTΓfandNΓfrespec-tively
    5. ∇∗dΓf(X,Y) = ̃∇Γ−1fX(dΓf(Y))−dΓf(∇∗XY)
    6. second fundamentalform∇∗dΓf:TM×TM→NΓfof Γf
    7. ∇∗be the Levi Civita connection ofMfor the graph metricg∗
    8. ̃∇Γ−1fX(Y,U) = (∇MXY,∇f−1XU) + (− ̃h(df(X),U)∇Mψ , dψ(X)U+dψ(Y)df(X))

      Decomposição da conexão pullback, via aplicação gráfica

    9. h(x) =e2ψ(x)h(f(x)) is a Riemannian metric on the pullback tangent bundlef−1TN

      Vide definição de fibrado pullback

    10. h(x) =e2ψ(x)h(f(x)) is a Riemannian metric on the pullback tangent bundlef−1TN
    11. nduces onMthe graph metric (1.7),g∗(X,Y) =g(X,Y) + ̃h(x)(df(X),df(Y))
    12. nduces onMthe graph metric (1.7),g∗(X,Y) =g(X,Y) + ̃h(x)(df(X),df(Y))
    13. seen as the embedding ofMby the graph map Γf:M→ ̃M, Γf(x) = (x,f(x)),
    14. f:M→N, and the graph submanifold, Γf={(x,f(x)) :x∈M} ⊂ ̃M
    15. seen as the embedding ofMby the graph map Γf:M→ ̃M, Γf(x) = (x,f(x)),
    16. ∇M,∇Nand ̃∇denote the Levi-Civita connections of (M,g), (N,h) and ( ̃M, ̃g) respec-tively

      Decomposição da conexão pullback, via aplicação gráfica

    17. Riemannian manifolds (Mm,g) and (Nn,h), and a functionψ:M→R,defining a Riemannian space ( ̃M, ̃g), where ̃M=M×Nand ̃g=g+e2ψh.
  26. Feb 2017
    1. No texto do Acordo Ortográfico de 1990 (em vigor no Brasil desde 01/01/2009, com prazo de quatro anos para sua implantação definitiva), foi também incluída uma seção sobre o uso de letras maiúsculas (a Base XIX). Suas disposições alteram em parte o que constava do Formulário Ortográfico. Uma primeira novidade é que a Base XIX trata não só das maiúsculas, mas também das minúsculas. E isso porque, em alguns casos, o uso em Portugal diferia do nosso (o nome dos meses, por exemplo: lá se grafava em maiúscula, aqui em minúscula. Agora, ficou estabelecido que será grafado só em minúscula). Um segundo aspecto é que o texto diminuiu, para nós brasileiros, o número de situações em que se usa inicial maiúscula: o FO de 1943 listava quinze e o Acordo lista oito. Em outras palavras, o núcleo duro permanece, mas repetem-se as idas e vindas da faixa em que sempre houve oscilação. Um terceiro aspecto é o fato de o texto do Acordo mencionar três casos em que é indiferente usar inicial maiúscula ou minúscula: 1) os nomes que designam domínios do saber, cursos e disciplinas. Podemos, agora, grafar, por exemplo, Matemática ou matemática, Línguas e Literaturas Modernas ou línguas e literaturas modernas;       2) em palavras usadas reverencialmente, aulicamente ou hierarquicamente (por exemplo, numa correspondência, ‘meu caríssimo Mestre’ ou ‘meu caríssimo mestre’), em início de versos, em categorização de logradouros públicos (rua ou Rua da Liberdade), templos (igreja ou Igreja do Bonfim), edifícios (palácio ou Palácio da Cultura);      3) nos axiônimos (termos de reverência) e hagiônimos (nomes ligados às práticas religiosas). Este último caso, motivou uma certa discussão pela forma como está a redação do texto do Acordo. Na Base XIX, 1º, letra f, lê-se: 1º) A letra minúscula inicial é usada: f) Nos axiônimos e hagiônimos (opcionalmente, neste caso, também com maiúscula)... Alguns se perguntaram se a expressão “neste caso” se refere apenas aos hagiônimos ou integralmente ao caso definido na alínea f (axiônimos e hagiônimos). Qual teria sido o espírito do legislador? Quando escrevi o primeiro texto sobre o Acordo para este site (cf.     Mudanças ortográficas, publicado em 11/05/07), não tive dúvida: fiz a leitura abrangente da expressão e afirmei: Ficou facultativo usar a letra maiúscula nos nomes que designam os domínios do saber (matemática ou Matemática), nos títulos (Cardeal/cardeal Seabra, Doutor/doutor Fernandes, Santa/santa Bárbara) e nas categorizações de logradouros públicos (Rua/rua da Liberdade), de templos (Igreja/igreja do Bonfim) e edifícios (Edifício/edifício Cruzeiro). E fiz a leitura abrangente da alínea f tendo a tradição como pano de fundo: os axiônimos, independentemente de estarem ou não arrolados nas “regras”, sempre foram grafados com inicial maiúscula. A leitura restrita implicaria um rompimento radical com a tradição, o que não está no espírito do Acordo. Até mesmo porque o próprio Acordo, em outra disposição, mantém optativa a maiúscula “nos nomes usados reverencialmente, aulicamente ou hierarquicamente” (que, no fundo, são axiônomos), conforme apontamos acima. Nesta semana, recebi um e-mail de uma leitora questionando minha leitura abrangente. Seu argumento é que, a exemplificação da alínea f está assim: “senhor doutor Joaquim da Silva, bacharel Mário Abrantes, cardeal Bembo; santa Filomena (ou Santa Filomena)”. Ou seja, a alternativa só aparece explicitamente no caso do hagiônimo, o que, segundo ela, resolve a ambiguidade a favor da leitura restrita. Aí, voltei ao texto do Acordo e descobri uma coisa interessantíssima: o texto publicado no Diário Oficial da União (como adendo ao decreto nº 6.583/08 do presidente da República, que determina a vigência da ortografia unificada a partir de 01/01/2009) difere, neste item específico, do texto oficial publicado pela CPLP – Comunidade dos Países de Língua Portuguesa. Neste, a exemplificação está assim: “senhor doutor Joaquim da Silva, bacharel Mário Abrantes, Cardeal Bembo; Santa Filomena (ou santa Filomena)”. [‘Cardeal’ em maiúscula] No DOU, este trecho aparece assim: “senhor doutor Joaquim da Silva, bacharel Mário Abrantes, cardeal Bembo; Santa Filomena (ou santa Filomena”. [‘cardeal’ em minúscula] Claro, tornar a grafia dos axiônimos um problema é, em princípio, uma questão bizantina. No entanto, leituras estritas dessas convenções sempre acabam por causar dano às pessoas, como vimos recentemente no caso samba/Samba da prova de ingresso ao Instituto Rio Branco (assunto ao qual voltarei em outro momento). Penso que a leitura abrangente é a mais defensável. Ela se sustenta  no espírito do Acordo, que é simplificador e flexibilizador, na tradição e no bom-senso, que, em matéria de língua, é sempre indispensável. No uso da prerrogativa que o Acordo me faculta, continuarei a grafar os axiônimos e hagiônimos com inicial maiúscula, embora cada um de nós possa optar, nestes dois casos, pela inicial minúscula.
  27. Mar 2016
  28. arxiv.org arxiv.org
    1. Letβ:V×V→Wbe a symmetric bilinear form whereVand (W,h,i) arereal vector spaces of finite dimensionnandp, respectively, equipped withinner products.Thes-nullityνsofβfor any integer 1≤s≤pis defined byνs= maxUs⊂Wdim{x∈V:βUs(x, y) = 0 for ally∈V}.HereβUs=πUs◦βwhereUsis anys-dimensional subspace ofWandπUs:W→Usdenotes the orthogonal projection.LetR:V×V×V×V→Rbe the multilinear map with the algebraicproperties of the curvature tensor defined byR(x, y, z, w) =hβ(x, w), β(y, z)i − hβ(x, z), β(y, w)i.Lemma 4.Assume that2p < nandνs< n−2sfor all1≤s≤p. LetV=V1⊕V2be an orthogonal splitting such thatR(x, y, z, u) =R(x, y, u, v) =R(x, u, v, w) = 0for anyx, y, z∈V1andu, v, w∈V2. Then,S=span{β(x, y) :x∈V1andy∈V2}= 0.
    1. second fundamental_form h satisfies h(TpL,xTpLj =0 forallp E M

      Para o nosso caso, assumir essa hipótese com respeito a decomposição do espaço tangente ao longo do bordo.

    1. USvia a ber respecting di eomorphism:EjUw[[[]pUSpr1UEis called thetotal space,Mis called thebase space,pis a surjective submersion,called theprojection, andSis calledstandard ber. (U; ) as above is called a ber chartor alocal trivializationofE.
    2. A( ber) bundle(E;p;M;S) consists of manifoldsE,M,S,and a smooth mappingp:E!M; furthermore it is required that eachx2Mhas an open neighborhoodUsuch thatEjU:=p1(U) is di eomorphic to

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  29. Feb 2016
    1. (Invariant local form theorem for n.d.o.). Let D(M): C?(V(M))--C?(W(M)) be a n.d.o. of order k. Then D looks the same in every coordinate system, i.e., there exists a map P: E V- W lal (k a n-tuple such that locally D(f)(x)>P(Djf(x)) under every local coordinate system.
    2. ding T9:R'--R'. Then there exists a unique n.d.o. D(M):C'(Vi(M)) -*C??(V2(M)) such that D(R n) = p. Proof. Given an n-manifold M, we construct D(M): C??(V1(M)) C ??( V2(M )) as follows: Suppose s E C ( V1(M )), and Tp: R n ->UCM is a chart. Define D(M)(s)rU=(9(-l)*P(T9*s). The assumption on P implies that this gives a well-defined n.d.o. with the required property
    3. Suppose V1(M) and V2(M) are two n.v.b. and P:C??(V,(Rn)) ->C (V2(Rn)) is a differential operator such that Tp*P= Pap* for every embed-
    4. consider the linear space C?(F(M)) of all smooth sections of F(M), and for an embedding p:M-*N there is an induced map p*:C?(F(N))*C??(F(M)) given by qg*s= F()-'osoT. Thus M-C??(F(M)) is a functor from 9ln to the category of real vector spaces. Definition 0.3. A natural differential operator (n.d.o.) from one n.v.b. F1 to another n.v.b. F2 is a family of differential operators {D(M):C??(Fi(M)) -> C?(F2(M)), M an n-manifold} such that (P*D(N)= D(M)q* for every embedding 9p: M-*N.

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  30. Dec 2015
    1. Let M be an rc-dimensional manifold of class C°° and g any given Riemannian metric on M. We will consider the following classical problem motivated by differential geometry. Does there exist an embedding u = (w1,..., uq) : M -> R9 such that the usual euclidian metric of R9 induces on the submanifold u(M) the given metric gl In other words, w must satisfy E(w) := du-du = g, (1) or in local coordinates 9 du1 du1 _ ,tîâ?â?"Qij' The dot in (1) denotes the usual scalar product of R9. The notion embedding means, that w is locally an immersion and globally a homeomorphism of M onto the subspace u(M) of R*. If an embedding w : M -• R9 satisfies (1) on the whole M, we speak of an isometric embedding. If w is an immersion and a solution of (1) in a (possibly small) neighbourhood of any point of M, we speak of a local isometric embedding.
    1. Lemma 2.3.(2.1) has a unique solutionufor allrwhich satisfies the estimates in Lemma2.2.
    2. Let Σ0be a smooth compact strictly convex hypersurface inRn. Letrbe the distance function from Σ0. Then the metric on the exteriorNof Σ0is given bydr2+gr, wheregris the induced metric on Σr, which is the hypersurface with distancerfrom Σ0. The functionuwith prescribed scalar curvatureR= 0 is given by2H0∂u∂r= 2u2∆ru+ (u−u3)RrwhereH0is the mean curvature of Σr,Rris the scalar curvature of ΣrandR0is the scalarcurvature of Σrwith the induced metric fromRnand ∆ris the Laplacian on Σr.
  31. Mar 2015
    1. θ dμ ≥ p 16 π | Σ |

      Qual a relação dessa desigualdade com a dita desigualdade de Penrose Riemanniana provada por Huisken-Ilmanen e Bray?

    2. GIBBONS-PENROSE INEQUALITY

      Qual a relação dessa desigualdade com a dita desigualdade de Penrose Riemanniana provada por Huisken-Ilmanen e Bray?

    3. θ dμ ≥ p 16 π | Σ |

      Isso significa que a taxa expansão nula futura (para fora) \( \theta \) é no mínimo $$ \sqrt{16 \pi |\Sigma|} $$