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  1. Oct 2018
    1. 2. 綫性相加(combinations),伸展(span)和單位矢量 l 綫性代數的本質 第二章

      本节介绍三个相互依存的概念:单位向量span线性无关

      基于单位向量和数字的向量的表示

      • basis vector \(\hat{i}\)
      • basis vector \(\hat{j}\)
      • adding together two scaled vectors

      是一种新的看待线性代数的观点,非常重要的三个知识点,至此向量的表示可以变成在各个单位向量做放缩然后取和,或者,单位向量的线性组合

      \((-5)\hat{i} + (2)\hat{j}\)

      可以表示为:

      $$ \begin{vmatrix} -5 \\ 2 \end{vmatrix} $$

      what if we choose different basis vectors?

      虽然不论使用什么方向的两个单位向量,其线性组合始终可以覆盖全部二维空间,但是我们仍然得到了同一个向量的两个不同的表示:

      although \((3.1)\hat{i} + (-2.9)\hat{j} = \(-0.8)\hat{i}+(1.3)\hat{j}\) 但是该向量的实际表示却完全不同:

      $$ \begin{vmatrix} -0.8 \\ 1.3 \end{vmatrix} \neq \begin{vmatrix} 3.1 \\ -2.9 \end{vmatrix} $$

      所以这里需要给出一种关于线性代数的数字表示法\([3.1, -2.9]\)的一个基本条件:每当使用这种表示法时都必须明确单位向量是什么

      span of vectors

      可以想象的是:

      • 如果两个单位向量之间存在夹角那么他们的线性组合形成的向量一定可以覆盖整个平面
      • 如果两个单位向量处在同一个方向(相同or相反)那么他们的线性组合形成的向量只能覆盖这条直线
      • 如果两个单位向量都是 \(\vec{0}\),那么他们的线性组合形成的向量都是\(\vec{0}\)

      引入概念span

      The "span" of \(\vec{v}\) and \(\vec{w}\) is the set of all their linear combinations:

      \(a\vec{v} + b\vec{w}\)

      let \(a\) and \(b\) vary over all linear numbers.

      两个向量的 span 与另一个表述是等价的,仅仅通过加法和乘法两种操作可以产生的所有向量

      Vectors VS. Points

      【tips】如果仅仅考虑一个向量,经常将向量想象成带箭头线段;如果考虑一堆向量的集合,经常将向量想象成

      • 那么两个同方向的向量的span就形成一条直线
      • 那么两个不同方向的向量的span就形成一个平面
      • 那么三个不同方向的向量的span就形成一个体

      Redundant and Linearly dependent

      任何时候如果你有多个向量,但是去掉其中一个或几个前者和后者的span没有减少(span is essencially a set --- set of all possible linear combination)

      \(span(\vec{v},\vec{w},\vec{u})=span(\vec{v},\vec{w})\)

      那么就可以说这个向量与其他向量是 Linear dependent (线性相关), 或者说这个(可以去掉的)向量可以表示为其他向量的线性组合, 因为这个可以去掉的向量处在其他向量的span中

      \(redundant\ \vec{u} \in span(\vec{v}, \vec{w})\)

      或者说,他对扩大span(set of linear combination of vectors)没有作用。

      由此衍生出另一个概念:Linearly independent

      Linearly independent

      \(\vec{u} \neq a\vec{v} + b\vec{w},\ for\ all\ values\ of\ a\ and\ b\)

      如果某个单位向量无法通过其他单位向量的任何一种系数的线性组合来得到,那么就说这个向量与其他向量都是线性无关

      basis vector

      有了之前的 span linearly dependent 两个概念,下面才能正式定义第三个概念:何为 basis vector

      The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space