our numerical experiments indicate that ‖𝐮ℎ−𝐮^𝑡𝑠‖ constitutes an asymptotically exact error indicator.
「渐近精确误差指示器」是本文数值实验中最令人惊讶的发现：数值解与其 SIAC 重构之间的差，和真实误差在高阶上完全一致。这意味着 SIAC 重构不仅是更精确的近似，还是真实误差的近似完美代理——工程师无需知道真实解，只需计算两个数值解之间的差，即可获得误差的高精度估计。这是「用近似解估计近似解的误差」的一个绝妙实例。
In order to use the relative entropy method, we reconstruct the numerical solution via tensor-product Smoothness-Increasing Accuracy-Conserving (SIAC) filtering which has superconvergence properties.
SIAC 滤波器的「超收敛」性质令人印象深刻：对多项式次数为 q 的 DG 解进行 SIAC 后处理后，收敛阶从 q+1 跃升至 2q+1——精度几乎翻倍，却几乎不增加计算代价。这是数值分析中罕见的「免费午餐」：滤波本身是线性操作，计算量微乎其微，却能将误差的收敛速率提升一个整量级。